Luas daerah yang dibatasi y = x² - 2x, sumbu x untuk 0 ≤ x ≤ 3 adalah ... satuan luas. A. 9 B. 8 C. 5 D. 8/3 E. 5/3

jawab

y = x² - 2x

titik potong dengan sumbu x
y = 0
x² - 2x = 0
x(x -2) =0
x= 0 atau x = 2
Luasan pada interval 0 ≤ x ≤ 3, maka
Luasan terdapat dua bagian , yaitu Luasan dibawah sumbu x pada interval 0≤ x ≤2 dan luasan diatas sumbu x pada interval 2 ≤ x ≤ 3

L = - ₀²∫ (x² - 2x) dx + ₂³∫ (x² -2x) dx

L  = - [ 1/3 x³ - x²]²₀ + [1/3 x³ - x²]³₂

L = - [ 1/3(8) - (4)]  + [ 1/3 (27-8) - (9-4)]

L = - [ 8/3 - 4 ]  + [ 19/3 - 5 ]

L = - 8/3 + 4 + 19/3 - 5

L = 11/3 -1

L= 11/3 - 3/3

L = 8/3 = 2 ²/₃ satuan

Kode : 12.2.1 [Kelas 12 Matematika BAB 1 - Integral]

Penyelesaian

Perhatikan daerah arsiran pada gambar terlampir.

Untuk dapat memecahkan kasus integral luas, diperlukan kemampuan menggambar kurva dalam hal ini fungsi kuadrat sejak masa kelas 10.

Setelah kurva digambar, terlihat bahwa ada dua daerah terpisah yakni luas A dan luas B. Jadi kita hitung integral luas A dan B lalu dijumlahkan.

Luasan A berada di bawah sumbu-x. Biasanya terpasang tanda minus untuk menghitung integral luas daerah di bawah sumbu-x, namun sebenarnya dapat dilakukan dengan 2 cara lainnya, yaitu:
a. menukar batas-batas, batas bawah jadi batas atas dan sebaliknya;
b. memasang harga mutlak

Kita coba cara b.

Step-1: Hitung luas A

[tex]L_A=| \int\limits^2_0 {x^2-2x} \, dx| [/tex]
[tex]L_A=| \frac{1}{3}x^3-x^2 \left \| {{2} \atop {0}} \right. |[/tex]
[tex]L_A=| (\frac{8}{3}-4) - (0) |[/tex]
[tex]L_A=|- \frac{4}{3}| [/tex]
Diperoleh luas A sebesar ⁴/₃ satuan luas.

Step-2: Hitung luas B

[tex]L_A= \int\limits^3_2 {x^2-2x} \, dx [/tex]
[tex]L_A= \frac{1}{3}x^3-x^2 \left \| {{3} \atop {2}} \right. [/tex]
[tex]L_A=(\frac{27}{3}-9) - (\frac{8}{3}-4) [/tex]
[tex]L_A= - \frac{8}{3} + 4 [/tex]
Diperoleh luas A sebesar ⁴/₃ satuan luas.

Sehingga luas total adalah luas A + luas B
Luas total [tex]= \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \\ = \frac{8}{3} \\ = 2\frac{2}{3} [/tex] satuan luas